Elementoj, Fiksita-Builder-Notado, Intersektantaj Aroj, Vennaj Diagramoj
Superrigardo de aroj
Matematike, aro estas kolekto aŭ listo de objektoj.
Aroj ne nur konsistas el nombroj, sed povas enhavi ion ajn:
- la manĝaĵon en via fridujo;
- la planedoj en la suna sistemo;
Eĉ se aroj povas enhavi ion, ili ofte raportas al nombroj, kiuj konvenas ŝablonon aŭ rilatas al iu maniero kiel ekzemple:
- aro de pozitivaj eĉ nombroj malpli ol 10: (0, 2, 4, 6, 8);
- aro de faktoroj por la nombro 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Fiksita Notacio
La celoj en aro nomiĝas elementoj kaj la sekvaj notacio aŭ konvencioj estas uzataj per aroj:
- Unuopaĵaj literoj estas uzataj por identigi arojn - kiel J, E aŭ F ;
- Malsupraj literoj aŭ nombroj estas uzataj por elementoj de aro;
- Buklaj krampoj {} indikas liston de elementoj en aro;
- Komoj estas uzataj por disigi agordajn elementojn.
Do, ekzemploj de difinita notacio estus:
J = {jupiter, saturno, urano, neptuno}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
Elemento Ordo kaj Ripeto
Elementoj en aro ne devas esti en iu aparta ordo, do la aro J supre ankaŭ povus esti skribita kiel:
J = {saturno, jupitero, neptuno, urano}
aŭ
J = {neptuno, jupitero, urano, saturno}
Repektaj elementoj ankaŭ ne ŝanĝas la aranĝon, do:
J = {jupiter, saturno, urano, neptuno}
kaj
J = {jupiter, saturno, urano, neptuno, jupitero, saturno}
estas la sama aro ĉar ambaŭ enhavas nur kvar malsamajn elementojn: jupitero, saturno, urano kaj neptuno.
Aroj kaj Elipsoj
Se estas senfina - aŭ senlima - nombro da elementoj en aro, elipso (...) estas uzata por montri, ke la ŝablono de la aro daŭras eterne en tiu direkto.
Ekzemple, la aro de naturaj nombroj komenciĝas je nulo, sed ne havas finon, do ĝi povas esti skribita laŭ la formo:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Alia speciala aro de nombroj, kiu havas neniun finon, estas la aro de (entjeroj, entjeras). Pro tio ke entjeroj povas esti pozitivaj aŭ negativaj, la aro uzas elipsojn ĉe ambaŭ finoj por montri, ke la aro daŭras eterne en ambaŭ direktoj:
{ ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Alia uzo por elipsoj plenigu la mezon de granda aro, ekzemple:
{0, 2, 4, 6, 8, ..., 94, 96, 98, 100}
La elipso montras, ke la ŝablono - eĉ nombroj nur - daŭras tra la neskribita sekcio de la aro.
Specialaj Aroj
Specialaj aroj uzataj ofte estas identigitaj per specifaj literoj aŭ simboloj. Ĉi tiuj inkluzivas:
- Ø aŭ {} - la malplena aro - aro enhavanta neniujn elementojn ;
- U - la universala aro - aro enhavanta ĉiujn elementojn relativajn al aparta aro difino ;
- Z - la aro de ĉiuj entjeroj: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... };
- N - naturaj nombroj (pozitivaj entjeroj): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }.
Prezidilo vs. Descriptive Methods
Skribi aŭ listigi la elementojn de aro, kiel ekzemple la aro de la internaj aŭ teraj planedoj en nia suna sistemo, estas nomata " listo de notoj" aŭ " ripara metodo" .
T = {merkuro, veno, tero, mars}
Alia eblo por identigi la elementojn de aro uzas la priskriban metodon, kiu uzas mallongan deklaron aŭ nomon por priskribi la aron kiel:
T = {la teraj planedoj}
Aro-konstruanto-skribmaniero
Alternativaj al la listo kaj priskribaj metodoj estas uzi agordinstrukcion , kiu estas taŭga metodo, kiu priskribas la regulon, kiun sekvas la elementoj de la aro (la regulo, kiu faras al ili membrojn de aparta aro) .
Agordo de kreilo por la aro de naturaj nombroj pli granda ol nulo estas:
{x | x ∈ N, x > 0 }
aŭ
{x: x ∈ N, x > 0 }
En aro-konstrua notacio, la litero "x" estas variablo aŭ lokokupilo, kiu povas esti anstataŭigita per iu ajn alia letero.
Komercaj Trajtoj
Komercaj signoj, kiuj estas uzataj per aro-konstrua notacio, inkluzivas:
- La vertikala stango aŭ kolono ( | aŭ : karakteroj) - estas apartigiloj legataj tiel ;
- La minuskla epsilon ( ∈- karaktero) - legas kiel estas elemento de;
- La ∉ karaktero - estas legata kiel ne elemento de.
Do, {x | x ∈ N, x > 0 } estus legita kiel:
"La aro de ĉiuj x , tia (tiu , ke , kiu) x estas ero de la aro de naturaj nombroj kaj x estas pli granda ol 0."
Agordoj kaj Vennaj Diagramoj
Diagramo Venn - iam nomata aro de diagramoj - estas uzata por montri rilatojn inter la elementoj de malsamaj aroj.
En la supra bildo, la superpapo de la Venn-diagramo montras la intersekcion de aroj E kaj F (elementoj komunaj al ambaŭ aroj).
Malsupre, tio estas listigita la aro-konstrua notacio por la operacio (la supro "U" signifas intersekcion):
E ∩ F = {x | x ∈ E , x ∈ F}
La rektangula limo kaj la litero U en la angulo de la Venn-diagramo reprezentas la universalan aron de ĉiuj elementoj sub konsidero por ĉi tiu operacio:
Aŭ = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}